Kedves Tudosok !

> Felado : Nemes Marcus
>            ...          Kicsit sarkitva: nekem olyasmire faj a fogam, 
> hogy vakuumban tukor, en megfeleloen lobalok egy magnest es egy fel-
> toltott kondenzatort, ami valtozo elektromos es magneses mezot jelent,
> es ebbol nekem a tukron nyomas lesz. Lehetseges az ilyen?

Bizonyara leheteges. Nekem a kondenzator + magneses ter kombinacioban
a kovetkezo kedvencem jutott eszembe - meg egyetemi eveimbol. Nem pont
az, amit kersz, de hasonlo. Legyen a kondenzator ket koncentrikus hen-
ger egy tengelyen, hogy foroghasson. Tegyuk ezt magneses terbe, ugy 
hogy a tengely a ter iranyaban legyen. Akkor, ha kisutjuk a toltott
kondenzatort (mindegy hol megy a drot), akkor a henger forogni kezd, 
vagy ha toltjuk akkor is forogni kezd a masik iranyba. Az impulzus-
momentum megmaradasabol kovetkezik. 

> Felado :  [Hungary]
> Regen volt egy olyan kiserlet, hogy egy uvegbura ala, ahonnan
> kiszivattyuztak a levegot, betettek egy jol csapagyazott tengelyen egy
> lapot, amelynek egyik fele tukrozo volt, a masik pedig fekete
> (fenyelnyelo). A lap pedig elfordult, csak azt nem tudom, hogy melyik
> iranyba. Emlekeim szerint ugy, hogy a tukrozo felulet tavolodott a
> fenyforrastol.

Igen, a tukrozo feluletrol visszapattan a foton, igy dupla akkora az
impulzusatadas, mint az elnyelo sotet feluleten. 
Megjegyzes: boltokban lehet hasonlo *orokmozgot* kapni, amit ha napra
teszunk, forogni kezd -- pont az ellenkezo iranyba. Itt nem a feny-
nyomas hat - az tul kicsi - hanem az, hogy a melegebb sotet feluletrol
atlagban nagyobb az impulzusatadas (a gaz energiat kap a felulettol). 

udvozlettel
kota jozsef

Kedves Tudosok !

Sikerult tokeletesen rossz fazisba kerulnom. Mire irtam fekete lyuk tema-
ban es elkuldtem, azonnal befutott a Tudomany, amiben ImRe ezeket mar meg-
valaszolta. Most, ahogy elkuldtem a fenymalmot, jon az ujabb szam, amiben
tobben megmagyarazzak -- igy most jobb ha sietek.

> Felado : Takacs Ferenc
> Azert nem ennyire rossz a helyzet. Newton a bolygok elipszis palyaibol
> az erok meghatarozasakor kozvetlen tavolhatast feltetelezett, es ezen a
> hibas feltetelezes mellett a palya alig-alig ter el a mert ertekektol.
> Az altalanos relativitas nehany folyomanyanak alkalmazasaval a bolygok
> elmeleti palyai meg jobban egyezesbe kerultek a meresekkel. De a hatasok
> keslekedesi ideje ebben a szamitasban sincs rendesen figyelembe veve. 

Mar hogy ne lenne ! Olyannyira benne van, hogy nem kell kulon gondoskodni
rola. Ha nem lenne, akkor nem jonne ki rendesen a Merkur precesszioja. 
Plane nem pontosan. Erdekessegkent: a precesszio - ha nagyon akarjuk - 
kihozhato fel-klasszikusan, retardalt erokkel, fenysebesseggel terjedo 
gravitacioval.  Az eredmeny persze nem lesz pontos, de nagysagrendre jo 
(nekunk egyszer ezzel szemleletesitettek).

> A kollapszust nezze az o szemszogebol, mi pedig nezzuk a mi 
> szemszogunkbol.

De ne feledjuk, hogy barmelyikunkkel elofordulhat, hogy beesik - meg 
eleteben - egy fekete lyukba. Akkor milyen tanacsot adhatunk neki ?

udvozlettel
kota jozsef

:Egyebkent R barmely megszamlalhato reszhalmazahoz lehet olyan f:R->R
:monoton fv-t is konstrualni, amely a halmaz minden pontjaban szakad es
:a halmaz komplementeren folytonos, igy olyat is, amely minden
:racionalis pontban szakad, es minden irracionalis pontban folytonos.

Eloszor meg akartam cafolni. Kishijan sikerult, de a matematika 
sajnos mar csak olyan, hogy nem ismer atmeneteket az igaz es a hamis 
kozott. Ezert konstrualtam egy peldat, ez se ment konnyen. Ha mar 
ennyit meloztam, kozkincse teszem.

A fuggvenyunk egy D(f)=(0,vegtelen), korlatos fv. lesz. Ez nyilvan 
nem jelent semmit. Vegyunk egy (x) pozitiv valos sorozatot, melynek 
letezik sorosszege. Es vegyunk egy g:Q->N bijekciot. Nezzuk a 
kovetkezo fv.-t.: h(u):= {x(i) : g(i)<u}. Legyen minden u valos 
szamra f(u):=szumma{h(u)}. Belatjuk, hogy az igy definialt f 
megfelel.

Minden valos szam megkaphato racionalis szamok monoton novekvo 
sorozatanak limeszekent. Tehat tetszoleges u eseten, ha a 
racionalis (q) monoton novekvo sorozat u hoz tart, akkor Unio h(q(i)) 
=h(u). Legyen u egy tetszoleges irracionalis szam. Most nezzuk az 
(y(i)):=h(u)\h(q(i)) sorozatot. Nincs olyan x(j), mely y minden 
elemeben benne lenne (mivel u irracionalis), tehat {(x)} minden eleme
elobb-utobb kikerul az (y) sorozat elemeibol (magyarul {(x)} minden 
x(j) elemehez letezik egy M kuszob, melyre minden i>M eseten, x(j)  
nem eleme y(i)-nek). Ez pedig azt jelenti, hogy az 
f(u)-f(q(i))=(szumma{y(i)}) sorozat a nullahoz tart, hiszen 
tetszoleges epszilonhoz letezik egy n szam, melyre ha (x) elso n 
elemet elvesszuk, akkor a megmarado sorozat sorosszege kisebb lesz 
mint epszilon (ez abbol kovetkezik, hogy (x) sorosszege veges). Tehat
azt kaptuk, hogy lim f(u)-f(q(i)) = 0, magyarul f(u) egyenlo az f u 
helyen vett baloldali limeszevel. Ugyanezt el lehet vegezni monoton 
csokkeno racionalis sorozatokra, abbol meg azt kapjuk, hogy f(u) 
egyenlo az f u helyen vett jobboldali limeszevel, vagyis f folytonos 
az u helyen. 

Most vizsgaljuk a racionalis helyeket. A fenti eljarast ezekre is 
elvegezhetjuk, azzal a kulombseggel, hogy ekkor a racionalis u-hoz 
tartozo x(j) (y) minden elemeben benne lesz, de csak az x(j), ebbol 
pedig az kovetkezik, hogy az f baloldali limesze az u helyen nem 
egyenlo f(u)-val. Ezzel keszen is vagyunk. 

A jelenseg lenyegeben arrol szol, hogy letezik olyan meghokkento 
halmaz, mely kontinuum vegtelen szamossagu, es barmely ket izolalt 
pont kozott lesz izolalt, es torlodasi pont is, es barmely ket 
torlodasi pont kozott lesz izolalt, es torlodasi pont is. (mellesleg 
egy ilyen halmaz letezesebol akartam erdetileg megkonstrualni a fenti
fv.-unket, de az tul hosszadalmas lett volna). Pelda egy ilyen 
hatborzongato halmazra:

Vegyunk egy [a,b] intervallumot. Hagyjunk meg belole ket 
intervallumot, es egy pontot, a kovetkezokepp: [a, 2/3a+1/3b] , 
(a+b)/2, [1/3a+2/3b, b]. Majd az eljarast ismeteljuk meg a megmaradt 
ket intervallumra. A rajzon jobban ertheto:

**************************************    <-ez az [a,b] intervallum
*************      *     *************    <-ez az, amit meghagyunk  
***   *   ***      *     ***   *   ***    <-ezt kaptuk a masodik lepes 
utan

Ezt az eljarast vegtelenszer ismetelve egy a fent leirt tulajdonasgu 
halmazt kapunk. Ezt persze illik bebizonyitani, le is irtam, de nem 
hiszem, hogy barki elolvasna, inkabb lehagyom, mar igy is tul hosszu 
a levelem. Azert meg annyit: ha mar van egy ilyen H halmazunk, csak 
annyi a dolgunk, hogy megadjunk egy monoton f: (0,1)->H fuggvenyt, 
ahol f a racionalis szamokhoz a H egy izolalt pontjat rendeli, egy 
irracionalis ponthoz pedig H egy torlodasi pontjat. Ezzel a kivant 
tulajdonsagu f-et kapjuk. Ezt viszont egzaktan vegigcsinalni eleg 
szep moka, ha valakinek kedve van hozza, kuldje be.  

Udv.: Sebestyen Balazs

Koranyi Gabor irja:

: Eleg ha a fuggveny monoton, szigorusag nem kell.

Persze. En egy masikra bizonyitasra gondoltam, ahol felhasznaljuk a 
szigorusagot is,  de a tied persze jobb, csak igy meg hozza kell tenni 
egy mondatot.

: Ha x az f szakadasi pontja az azt jelenti, hogy
: f(x-0)<f(x+0) ( f(x-0) az f baloldali, mig f(x+0) a jobboldali
: hatarertek x-ben). 

Nem biztos, hogy mindket limesz letezik, lehet, hogy x pl. nem bal oldali
torlodasi pontja D(f)-nek. Ekkor f(x-0) helyett f(x)-et kell venni. 

Ezt persze csak azert tettem hozza, mert engem senki sem javithat ki
buntetlenul. :-)

Udv.: Sebestyen Balazs

Uj temaval jelentkezem,
 levelezotarsunknak a "mi a kulonbseg"
targyu adomahoz fuzott "nem is olyan rossz" vicce a 
"matematikus,fizikus es kozgazdasz -mas szerint mernok-"
gondolkodasa kozotti elteresrol eszembe juttatta a
primszamokat, nevezetesen azt hogy jo par evvel ezelott azt
olvastam , hogy az eddig ismert legnagyobb primszam az
                  M(33)    =2^859433 - 1
nagysagu Mersenne-szam. 
Ez bizony eleg nagy, de nem tudom, talaltak-e azota
nagyobbat is, hiszen az a  szamitogep, amellyel az ezt
eredmenyezo prim-tesztet futtattak, ma mar bizonyara 
elavultnak tekintheto.
Orulnek, ha valaki tudna kozolni az esetleges ujabb
rekordot.
Elore is koszonom (akkor is, ha nincs).

La'ng Pa'l

Most mar valaki elarulhatna, hol lehet ilyet venni es mennyiert
(Laci)

Sziasztok !

> Felado :  [Hungary]

> Gondolkoztam beirjam e ide, vegulis felig filozofikus a problema, de a
> tudomanyban is van alapja. A SEMMI-rol van szo. Mi az a SEMMI? Tudjuk hogy
> a tokeletes vakuumban is vannak virtualis reszecskek, azaz az sem semmi.

Szerintem nagyon jo, hogy igy dontottel. Mar az is egy erdekes
kutatasai temaja lehetne valakinek, hogy mi mindent tudunk
a semmivel kapcsolatban allitani.

A semmi valoban filozofiai problemanak tunik, de kozmologiai
keletkezesi forraskent is emlegetik olykor.
Hogy megis mennyire lehet fizikai, az mar nehezebb kerdes szamomra. 
Ugyanis a semmi nem merheto. 
A fizika pedig objektiven merheto dolgokkal foglalkozik. 
Minden meresnek van eredmenye, felteve termeszetesen, 
hogy tobb merest is vegeznek, hiszen szakemberek allitjak 
 - egy meres  nem meres.
Erdekes azonban, hogy sok meres atlaga megis kozelithet a 0-hoz.
A 0 azonban - idealizalt ertek, nincs kituntetett szerepe,
es tartosan nem is jellemezhet valos allapotokat.

> Letezik e egyaltalan a semmi? Mi a definicioja? Lehet e a semminek
> definicioja? Hiszen ha van akkor az mar nem semmi.

Valoban eloszor definialni kellene mi a semmi, hogy azutan
diadalmasan kijelenthessuk - nincs !
Valoszinuleg az lehet a definicio - a semmi az ami nincs.
A feltetelezes alapja: a semmi atmeroje 0

Persze meg ezzel is ovatosan kell banni. 
Allitolag egyetemi tanartol szarmazik a kovetkezo gondolatmenet:

_Vegyunk egy vegtelen hosszunak tekintheto, vastagfalu
csovet, melynek kulso atmeroje az egyszeruseg kedveert,
mondjuk - legyen: 0 _

> Valaki mondta a semmi instabil es univerzumma alakul. De hogy lehet a
> semmibol valami? Egyaltalan valami e az ami van?

Ez a valaki tudhatott a semmirol valamit, azaz,  legalabb
egy tulajdonsagat velte ismerni, nevezetesen az instabilitasat.

Vajon mennyi ido kell ahhoz, hogy az instabil semmibol
univerzum keletkezzen, es vajon a keletkezes szigoru
ok-okozati alapon tortenik, vagy bizonyos valoszinuseggel
jellemezhetoen ?

Szerintem celszerubb azt allitani, hogy a semmi tulajdonsagai
szamunkra nem vizsgalhatok, mert a semmit eltakarja az univerzum.

Az univerzumrol azt tudjuk, hogy fizikai ter, merthogy 
vizsgalhato, leirhato tulajdonsagai vannak.

Amirol azonban nem tudhatunk, az az anyagi reszecskek,
kozelterevel korulvett resz belso vilaga. 
Ha azt feltetelezzuk, hogy odabent semmi is lehet, 
nagyon abszurd  ?

A matematikai semmirol en nem mernek hatarozott kijelentest 
tenni, amiota a spec.rel hatasa ala kerultem.
Egyik reggel azon tepelodtem, hogy vajon igaz e meg,
hogy ket pont kozott legrovidebb ut az egyenes.
Peldaul akkor is, ha mozgo egyenesrol van szo... ?

inkabb kerdezek:
Ha 1-bol kivonjuk a 0,9. vegtelen szakaszos tizedes tortet, 
akkor az egyenerteku-e az 1-1 formaban leirt 
sulyos absztrakcioval ?

                   Udv: -geonauta-

Ui: Ha ma megkerdezik tolem - mivel foglalkoztal - vegre egyszer 
    nyugodt lelkiismerettel jelenthetem ki, hogy semmivel.

 wrote:

> Sziasztok,
> 
> Nemreg megfigyeltem egy szinhazi fuggonyelhuzast. Elkezdtem gondolkodni,
> hogy vajon hogy csinaljak meg azt, hogy a fuggony felrehuzasakor a rancok
> nem a fuggony mozgo reszenel keletkeznek (mint nekem otthon, amikor felre-
> rancigalom a szobaban), hanem a toveben, a fal mellett. Jo darabig tortem
> a fejem, vajon milyen szerkezettel lehet ezt megcsinalni, de egyszeru
> megoldas nem jutott eszembe (csak bonyolult, lancos, ki-be akado fulekkel)
> Ha ismeritek ezeknek a fuggonyelhuzoknak a titkat (vagy kitalaljatok),
> osszatok meg velem...

Ez nekem meg nem tunt fel, igy erre nem figyeltem, de lattam mar ilyen
fuggonyt kozelrol.  Ez egy igen nehez keszseg, es raadasul valami fem
nehezek is van az aljaban.
Valoszinuleg a drotkotel felul csak a fuggveny vegehez van rogzitve, es a
tobbi ponton  karikakkal van ra fugesztve.  Igy a tapadasi surlodas
stabilan tartja a kulso veget, mig a fal feloli vege az meg gyurodik, mert
elmegy alolla a drootkotel...

ImRe


> --------------------------------------------------------------------------
 ... Our continuing mission: to seek out knowledge of C, to explore strange
unix commands, and to boldly code where no one has man page 4.
                                                                     (lpg)

Hali Tudorok!

Mostanaban fogok gyakorlotanitani fizikat (12-edikeseknek), es ehhez lenne
egy kerdesem.  (Marmint, valami felmeres szeru, hogy mit varhatok el az
osztalytol.)
Fel tunt e mar kozuletek valakinek, valami problema a fotonra vonatkozo
$E=h\nu$ keplet korul. (Bocs a TeX szintaxisert, de a gorog betuk ...).  Ha
igen, akkor mi?
Ha van eleg erdeklodo akinek nem tunt fol, de kivancsi, akkor a
kozeljovoben megirom a problemet, es talan a feloldasat is, ha sikerul ugy
megfogalmaznom, hogy nem kell hozza kvantumterelmelet.

ImRe


> --------------------------------------------------------------------------
 ... Our continuing mission: to seek out knowledge of C, to explore strange
unix commands, and to boldly code where no one has man page 4.
                                                                     (lpg)

Nagy Bumm: kezdetben vala a semmi, ami felrobbant

            / Internet graffiti /

Udv,
NagyAnd

Sziasztok!

En a feny nyomasaval kapcsolatban egy reges-regi Deltaban lattam egy
kiserletet.
Itt is kozel vakumot csinaltak az uvegbura alatt, de belul egy legyszarnyat
fuggesztettek fel torzios szalra.
Itt azt hiszem a felmelegedes hatasat mar elegge kikuszoboltek...

Udv:
Steve

/Gabor:

> On Wed, 16 Sep 1998 09:10:05 EDT,   wrote:
>> Megj.: letezik egy tetel, hogy minden monoton R->R fuggveny
>> megszamlalhato sok szakadastol eltekintve folytonos. Ettol
>> szemleletesebbe valik a fenti allitasod. (Viszont most nem tudnam
>> ezt a tetelt bizonyitani.)
>
> Nem ertem a megjegyzesedet, hiszen epp ezt a tetelt bizonyitottad fent
> (ha nem is teljesen szigoruan).

Teljesen igazad van. Ha kicsit pontosabban fogalmazok, talan meg en is
rajohettem volna.

> Egyebkent R barmely megszamlalhato reszhalmazahoz lehet olyan f:R->R
> monoton fv-t is konstrualni, amely a halmaz minden pontjaban szakad es
> a halmaz komplementeren folytonos, igy olyat is, amely minden
> racionalis pontban szakad, es minden irracionalis pontban folytonos.

Es elarulod a konstrukciot?

Titusz

Feri!

> Eleg sok reagalas erkezett a korabbi cikkeimre, amelyekre ido hianyaban
> nem is tudok most valaszolni, de igyekszem majd a kozeljovoben potolni
> ezt a hianyt.

Varjuk. Addig is engedd meg, hogy en is reagaljak.

> Miert biztos, hogy minden tizedes tort racionalis? Azert, mert nem
> bizonyithato, hogy egy irracionalis szam leirhato tizedes tortel.

Mar hogy ne volna bizonyithato. Letezik egy tetel, hogy a tizedes tortek es
a valos szamok kozott egy-egy ertelmu megfeleltetes van, attol eltekintve,
hogy a veges tizedes tortek ketfelekeppen is leirhatok:
pl. tizes szamrendszerben: 0.5 = 0.499999999....

Az egy-egy ertelmuseg kedveert ezert neha ki is zarjak az olyan vegtelen
tizedes torteket, amelyekben egy bizonyos jegytol kezdve csak 9-es van.
A tetel termeszetesn igaz tetszoleges szamrendszerre (sot vegyesre is),
akkor ez utobbi a kitetel: "egy bizonyos jegytol csak az adott
helyierteken allo maximalis jegy van".

> Ugyanis ha probalkoznank is ilyen kozelito algoritmussal (ilyen van) ...

Koze nincs semmifele algoritmusnak ehhez a tetelhez.
Amivel a gondod lehet, hogy nem tudod, hogy
1. A megszamlalhatoan vegtelen hosszusagu (es akar veges ertekkeszletu)
lancok (stringek) mar megszamlalhatatlanul sokan vannak.
2. Ezzel ellentetben a veges hosszusagu -- akar megszamlalhatoan vegtelen
ertekkeszletu -- stringek viszont csak megszamlalhatoan sokan vannak.

Az elsore pelda "a valos szam -- tizedes tort" megfeleltetes, a masodikra az
"egesz szam -- racionalis szam" megfeleltetes.

BTW, ez az allitas nem annyira megdobbento, hiszen, ha `x' eleg nagy, akkor
2^x >> x^2. (De ez megintcsak szemleltetes.)

1/
> Eloszor ujabb bizonyito ereju erveket fuznek a tizedes tortek, es a
> racionalis szamok megfelelesenek tetelehez, mert a korabbi erveim nagyon
> gyengek.

A "bizonyito ereju"-t tenyleg megszmajlizhatnad vagy legalabb te is hasznald
az idezojeleket.

> Ismerjuk azt a tetelt, hogy minden racionalis szam kozott van masik
> racionalis szam (peldaul a szamtani kozepuk).
> 
> Ezt a tetelt indukcioval ki lehet terjeszteni tetszoleges, akar vegtelen
> szamra is. De most ne ezt tegyuk, hanem terjesszuk ki csak kilencre.
> 
> Vagyis minden ket racionalis szam kozott van kilenc masik racionalis
> szam. Alkalmazzuk ezt a tetelt a nulla, es egyes szamokra. Az erdemeny
> 0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  0,9 ,amelyek szinten racionalis
> szamok.
> 
> Most teljes indukcioval alkalmazzuk a fenti allitast az igy letrehozott
> egymast koveto racionalis szamokra (az eredeti intervallum hatarokat is
> beleertve). Az eljarast akarmeddig folytathatjuk veg nelkul. Az eredmeny
> nem mas, mint a tizedes tortek teljes halmaza a [0, 1] intervallumra.
> Vagyis a tizedes tortek ketseget kizaroan racionalis szamok. <biz.vege>

Te kevered a hatarerteket es az igazabol felvett erteket.
A teljes indukcios bizonyitasod kivaloan megmutatta, hogy a *veges*
tizedes tortek racionalis szamok. (Meg csak arrol sem mond semmit, hogy
mely rac. szamok irhatok fel veges tizedes tortkent..)
Hozzad hasonloan bebizonyitom, sum(i,i=1..vegtelen) letezik es veges:
1. Nezzuk meg az elso reszletosszeget (n=1): sum(i,i=1..1)=1, OK.
2. n -> n+1 lepes: sum(i,i=1..n+1) = sum(i,i=1..n) + (n+1).
   Tehat ha az n. reszletosszeg veges, akkor a kovetkezo is.
3. Alkalmazzuk a "teljes indukciot".

Korok zsugoritasaval hasonloan "meg lehet mutatni" meg, hogy egy pont korul
pontosan hat darab masik pont van (es ezert egy ponton keresztul csak harom
egyenes huzhato, es azok 60 fokos szoget zarnak be egymassal).

Szamossag es elemszam temakorben:
> Mint Titusz is irja, en is talakoztam matek konyben azzal az allitassal,
> hogy a szamossag es az elemek szama jelentse ugyanazt (vagy inkabb
> azzal, hogy ugyanazt jelenti). De szerintem ez csak arra jo, hogy
> megszabaditsuk magunkat egy regi, es kozertheto fogalomtol. Ezert ennek
> a fogalom pusztito definicionak semmi ertelme nincs, ha csak az nem,
> hogy butabbak legyunk, szegenyebbek egy fogalommal. Altalaban veve
> ertelmetlen ket fogalmat azonosnak definialni. Mert ugye ezzel az erovel
> javasolhatnam azt is, hogy minden szavunk legyen azonos a bla szoval.
> Alkalmazva: bla bla bla bla ....
> Mert kerdezem en, azonos e a [0,1] es a [0,1) halmaz? Ugye nem. Miert
> nem? Hat azert, mert az elobbinek eggyel tobb eleme van. Barmennyire is
> vegtelen a halmazaink szamossaga, minden egyes elemnek kulonleges
> szerepe van, kulonosen akkor, amikor hianyzik. Vegezzuk el a kovetkezo
> halmazmuveletet [0,1] - [0,1). Mi marad? Az egyest tartalmazo egy elemu
> halmaz {1}. Miert akarjuk megfosztani magunkat attol a kijelentestol,
> hogy a ket halmazban kulonbozo az elemek szama? Mit erunk el vele?
> Hogyan mondjuk el a ket halmaz eme kulonbozoseget?

/Gabor mar irta, hogy attol meg nem ugyanaz a ket halmaz, mert ugyanannyi
elemuk van. De attol felek, hogy te nem erre gondolsz, mikozben nemes
harcod vivod mindannyiunkkal.

Egy parsoros kitero utan elarulom, hogy mire tippelek:

> Titusz fuggvenye:
>  1. Valasszuk kulon a [0,1] szakaszbol az 1/n (n>0 egesz) alaku
> szamokat.
>  2. A maradek hozzarendelese x->x
>  3. A kivalasztott sorozat hozzarendelese: x-> 1/(1+1/x)
>    ( vagy maskepp irva: 1/n -> 1/(n+1), azaz 1 -> 1/2, 1/2 -> 1/3, ...)
> Ez valoban jopofa megoldas a [0,1] -> [0,1) bijekciora, meg ha nem is
> folytonos. De csak akkor igaz, hogy ha az ertekkeszlet szigoruan a [0,1)
                           ^^^^ mi igaz csak akkor?
Az, hogy bijekcio? Annak semmi koze a nyiltsaghoz es a zartsaghoz.
A [0,1] minden pontjanak megfeleltettem a [0,1) minden pontjat oda-vissza
egyertelmuen. Tehat ugyanannyi pontjuk van (hiszen parba allitottam a
pontjaikat).

> halmaz, az ertelmezesi tartomany pedig a [0,1] halmaz. Vagyis teljes
> halmazoknak tekintem oket.

Ennek a bizonyitasnak semmi koze a matematika `teljesseg' fogalmahoz.
Ezt mar vegkepp nem ertem, miert kevered bele.
Foleg azert nem, mert teljesen fuggetlen tole, pl. a [0,1] racionalis es
[0,1) racionalis szamok kozott ugyanolyan jo bijekcio a fenti lekepezes.


Es a tovabbi erveid megintcsak a nyiltsag-zartsag temakoreben hozod,
aminek semmi koze a szamossaghoz, annal tobb a *topologiahoz*. Es ennek
koze van a folytonossaghoz is. 

Semmikepp nem a tudomany resze, hogy kitalaljuk, hogy mit gondol a masik
ember, elore is elnezesedet kerem -- es batran utasitsd vissza.

Azt hiszem, te azt akarod "beadni" nekunk, hogy a [0,1] intervallum jobban
hasonlit a [0,2] intervallumra, mint a [0,1) intervallumra.
Topologiai szempontbol valoban. Es eppen ezert van hogy R->R folytonos
fuggvennyel lekepezheto a [0,1] a [0,2]-re, mig a [0,1] a [0,1)-re
semmikeppen (viszont a [0,1) a [0,1]-re konnyeden!).
(Relevans tetelek: kompakt halmaz folytonos fuggveny (ff) altali kepe
kompakt, zart halmaz ff altali oskepe zart, nyilt halmaz ff altali oskepe
nyilt.  -- Remelem, jol emlekszem, most nem tudok utananezni.)

Ha tenyleg ezt keverted bele, akkor rendben van,
de nem errol szolt a vita.

Titusz

Takacs Feri:
-------------------
Vagyis minden ket racionalis szam kozott van kilenc masik racionalis
szam. Alkalmazzuk ezt a tetelt a nulla, es egyes szamokra. Az erdemeny
0,1  0,2  0,3  0,4  0,5  0,6  0,7  0,8  0,9 ,amelyek szinten racionalis
szamok.

Most teljes indukcioval alkalmazzuk a fenti allitast az igy letrehozott
egymast koveto racionalis szamokra (az eredeti intervallum hatarokat is
beleertve). Az eljarast akarmeddig folytathatjuk veg nelkul. Az eredmeny
nem mas, mint a tizedes tortek teljes halmaza a [0, 1] intervallumra.
Vagyis a tizedes tortek ketseget kizaroan racionalis szamok. <biz.vege>
-------------------
Ezzel messze nincs bebizonyitva, hogy igy ra lehet lelni az osszes tizedes
tortre, ami a [0,1]-ben van. Sot be lehet bizonyitani, hogy igy kizarolag a
racionalis szamokra lehet ratalalni. Tehat mindket vegkovetkeztetes hibas.
(Peldak: Pi/4, e/3... . Bocsi, ha nem bizonyitok most en, innen a
"banyabol".)

hjozsi

Egy egyszeru kiserletet csinaltam:

Fellogattam egy alufoliat, es egy vakuval rakozelitettem, es elsutottem a
szerkezetet max-ra allitva (fenyerzekelo eltakarva). Nem kell nagyon
erzekeny ful, hogy a folia csorreneset meg lehessen hallani. Sot, ha ep
(nem gyurott) 4-6 dm2-es foliat hasznalok, akkor eleg nagyot csorren.
(A vakunak van valami jellemzo szama, de nem tudom ennek a definiciojat.
Mindenesetre jellemzo adat, hogy 21 dines filmnel a tavolsag es a blende
szorzata 36 kell legyen, ha nem hasznalom a fenylevago-erzekelojet.)

Na de mi van - kerdezhetnenk -, ha a csorrenest nem a feny csinalja, hanem
a vaku tompa puffano hangja megy at, es a hanghullam csorrenti meg a
foliat?

Ezert egy jo nagy uveglapon at (20x30x0.03 dm) is megismeteltem, aminek
akkora tomege van, hogy messze nem megy at annyi hang, mint naturban.
Eredmeny: megint csorren. Szubjektive ugyanakkorat.

Na de mi van, ha a viszonylag nagy aramimpulzus magneses hatasa teszi meg a
hatasat? Ezert egy atlatszatlan papirt raktam a vaku ele, es megint start. 
Folia nem, vagy csak alig csorren. Pedig magneses ter van, ugyanakkora,
ugyanolyan kozelrol. Az eltakaro papir tomege joval kisebb az imenti
uveglapenal.

Mar csak azt kellene kiszu:rni, hogy nem a levego melegszik-e fel a folia
kozeleben hirtelen, es loki meg a feluletet. De ehhez mar nem vagyok
felszerelve.

(Megprobaltam, hogy lefujom mattfeketevel a folia egyik oldalat, de ezzel
akkorara nott a csillapitasa, meg a tomege, hogy barmelyik felerol
megvillantva elromlott a jelenseg.)

Na most ez feny-nyomas volt, vagy hohatasbol eredo lokes? Kulonos
tekintettel arra, hogy az alufolia meglehetosen fenyes, tukrozo feluletu.

hjozsi

Ahogy mar elore sejtettem, ki sem latszom a hozzaszolasokbol. Ezekre is
valaszolok, de elobb helyesbitem a tegnapi levelem (TUD#529) hibajat,
amelyre meg nem erkezhettek meg a reagalasok, de holnap talan egyszerre
olvassuk javitasainkat.

1/
A tegnapi hibam Titusz [0,1] -> [0,1) lekepezesevel kapcsolatos. Az
egy-egy ertelmu fuggvenyt tulajdonsagaira hibasan emlekeztem. A
definiciojaban nincs kikotve, hogy az egesz halmazra ertelmezve kell
lennie, igy az egyes elemek ures halmazhoz valo rendelese is
megengedett. A lenyeg, hogy invertalhato legyen. Az en megalapozatlan
elvarasom, miszerint a teljes halmazok maradek nelkul le legyenek
kepezve egymasra, egy ettol teljesen fuggetlen kivanalom. Igy hat Titusz
mintapeldaja az en megjegyzesem nelkul is jo.

2/ Be kell latnom, hogy a szamossagra megfogalmazott uj teteleim nem
igazak. A legfobb hianyossag a sok kozott az volt, hogy nem elegge
tisztaztam magamban a tizedes tortek fogalmat. Egyszeruen ugy gondoltam,
hogy az az (m, 10^n) szamparokbol kepzett tortek, ahol m, es n akar
vegtelen is lehet. Ha ez igaz lenne, akkor nyilvan az 1/3 -ot sem
lehetne leirni tizedes tortel. Most mar raebredtem, hogy a tizedes tort
definiciojahoz hozzatartozik a hatarertek kepzes is, vagyis a tizedes
tortek halmazahoz hozzatartozik pl. a 0,3333... sor hatarerteke, amely
eppen 1/3. Bar vegul is homalyosan tudtam ezt, hisz valamikor tananyag
volt, de nem tulajdonitottam neki jelentoseget. Erre a hianyossagra
rajove mar konnyen belattam azt is, hogy a tizedes szamok halmaza
ekvivalens a valos szamok halmazaval. Nagyon koszonom az epito jellegu
hozzaszolasokat, amelyek ravezettek a helyes megoldasra. Igy mar az
osszefesuleses bizonyitast is sikerult megemesztenem a sik, es egyenes
ekvivalenciajara vonatkozoan. Remelem, hogy azert, hogy cikkeim a hibak
ellenere sem foloslegesen tornaztattak gondolataitokat, es nem
haragszotok az elrabolt idoert. De legalabb az vigasztaljon benneteket,
hogy en nagyon sokat tanultam ezekbol a cikkekbol.

 Udv: Takacs Feri

T. Jozsef !
Az elso kifogasod megegyezett ImRe kifogasaval, amelyre tegnap jelent
meg a valaszom, igy talan folosleges megismetelnem. Bar semmi koze a
temahoz, azert fontos momentum lehet adott esetben, hogy a tomeg es az
energia terbeli eloszlasa jelentosen kulonbozhet meg egy ilyen kitalalt
esetben is. De vegul is csak azert vettem ezt az elkepzelt peldat, mert
egyszerubbnek latszott megvilagitani a tomeg idobeli valtozasanak
hatasait a terben. A valosagban persze a tomeg mozgasai az altalanosak,
mig a tomeg letrejotte altalaban nem jellemzo.

>Feri, ami ha meggondoljuk, hogy az altalanos relativitasba - akarcsak
>az elektrodinamikaba - bele van epitve, hogy a hatas veges sebesseggel
>terjed, nekem gyanus az az ellenerv, hogy pont a hatas veges sebessege
>okoz galibat.
Tevedsz abban, hogy korrekt modon bele lenne epitve a hatasok terjedese
ezekbe az elmeletekbe. Az elektromagneses terek elmelete (Landau-Lifsic
konyveben) kulon fejezetben targyalja hogyan kell kiszamolni az
elektromos tereket leiro negyesvektorokat (skalar es vektor potencialt)
a ter egyes pontjaira a retardalt potencialok segitsegevel. E furcsa nev
azt jelenti, hogy a toltesek elektromos teret nem a meghatarozas
idejeben kell figyelembe venni, hanem a tavolsagtol fuggoen egy korabbi
idopontban, mivel a hatas fenysebesseggel terjed. Vagyis meg kell
hatarozni, hogy a meghatarozas helyerol indulo negativ fenysebessegu
hatasgomb hol metszette a toltes utjat. Bar a szukseges integralas
jelolve van, de ennek az integralasnak az elvegzese nem konnyu, ha
kozben a toltesek tetszolegesen mozognak. Nincs is mintapelda ennek az
integralasnak az elvegzesere a konyvben. De legalabb elmeletben korrekt
a hozzaallas.
Kulon fejezetek szolnak arrol, hogy mikeppen mozognak a kulonfele
mozgasallapotu toltesek a kulonbozo tereloszlasu, es kulonbozo erossegu,
de elore meghatarozott eroterekben. Ennek targyalasa is korrekt, bar
reszletesen mindig csak specialis eseteket targyal.
Teljesen hianyzik az altalanos eset targyalasa dinamikus, vagyis
onszabalyozo esetekre. Az eroter keletkezese a toltesek hatasara, es a
toltesek eroterben valo haladasa nincs sehol kozvetlen osszefuggesbe
hozva. Persze ha lenne ilyen eljaras, akkor elvben nagyon kozel lennenk
egy egyszerusitett atommodell leirasahoz.

A konyv alt.rel.-lel foglalkozo resze meg csak nem is foglalkozik azzal
a kerdessel, hogy a tenzorokat hogyan hatarozzuk meg  tetszolegesen
mozgo tomegek kozeleben. Mindenutt csak elore definialt specialis
eloszlasu terek eroterebol kiindulva targyalja, hogyan mozognak a
tomegek, es a sugarzasok ebben a terben. Termeszetesen a mozgo tomegek
sajat terdeformalo hatasa el van hanyagolva, ami egy test eseten jogos,
mivel a test nem erheti utol sajat hatasat, de tobb test eseten ez
egyszerusitesnek szamit. Vagyis a hatasok sebessegenek figyelembe vetele
lekorlatozodik arra, hogy az elore definialt statikus ter hogyan
modositja a benne mozgo test mozgasat. De mivel az a kerdes mindeddig
titokban maradt, hogy a gravitacios ter mikeppen alakul ki a terben
mozgo tomegek hatasara, sokan nem is ertik, hogy miert beszelek en a
kolcsonhatasokrol, vagy retardalt potencialokrol az alt.rel.-lel
kapcsolatban. Pedig konnyu rajonni, hogy a tomegek gravitacios hatasanak
kialakulasanal szinten figyelembe kell venni a hatas keslekedeset a
hatas veges sebessege miatt. Ez a spec.rel-nel a retardalt potencialok
hasznalatat jelentette. Az alt.rel.-ben bonyolultabb a helyzet, mert a
hatas a gorbitett terben terjed, es ez modositja a hatas utjat. A
tomegpontok korul kialakulo kollapszusok kozeleben ez a modositas olyan
merteku, hogy a hatas soha nem is er el a kollapszusig. Vagyis a
kollapszus kozelebe kerulo tomeg gravitacios hatasai (amelyeket eddig
hagyomanyosan elhanyagoltunk) nem tudnak eljutni a kollapszusba, es nem
tudjak meggorbiteni a teret annak erdekeben, hogy a kollapszus
elinduljon a tomeg iranyaban. A dolog sajnos ket iranyu. Ugyanis a
kollapszushoz kozeledo tomegnek is van kollapszusa, amelyet persze eddig
hagyomanyosan elhanyagoltunk. Emiatt a masik tomeg kozeleben is letrejon
egy esemenyhorizont, amelyen nem megy at az hatas, amely miatt ez a
tomeg kozeledhetne a masikhoz.

>Igen, a minimalelveket konnyen lehet(ett) kulonbozokeppen ertelmezni.
A feny terjedesi sebessegenek merheto lelassulasa az atlatszo anyagokban
minden elmeletnel tobbet mond. Ezt az analogiat csak egyfele keppen
lehet erteni. Termeszetesen a tomegek hatasanak vizsgalatanal is tobbet
mondana egy pontos meres, mint az elmeleti megfontolasok. De ehhez a
mereshez legalabb egy picinyke urhajora van szukseg, amely a nap
ellentetes oldalara repulve pontosan idozitett meghatarozott jeleket
kuldene vissza a foldre. A beerkezo jelnek Nap takarasanak kozeleben
torteno megvaltozasaibol ertekes valaszokat kaphatnank megvalaszolatlan
kerdeseinkre. De meg jobb lenne ket piciny urhajo, amelyek ellentetes
iranyba indulnanak. Igy kikuszobolodnenek a foldi megfigyeles zavaro
problemai.